Lógica Proposicional (Concepto, Características Y Tablas)

La Lógica proposicional (o de enunciados), también denominada como lógica de las funciones de verdad, es la más antigua rama de la lógica matemática que estudia proposiciones, argumentos, oraciones o afirmaciones, métodos de relaciones mediante conectores lógicos y los enlaces y propiedades que resultan de esos procedimientos.

La lógica proposicional admite el razonamiento, a través de un instrumento que primero evalúa problemas   simples y luego problemas más complejos establecidos mediante el uso de conectivos proposicionales.

Valor de verdad

Dada la proposición es verdadera, V, o es falsa, F. Si una proposición p es verdadera, su negación, que se escribe   p y se lee “no p”, es falsa. Los valores de verdad en una proposición p son V o F.
Dada una proposición p sucede que p es verdadera o que  p es verdadera.

Las Conectivas Veritativo- Funcionales y sus Tablas

En los lenguajes naturales hay muchas maneras de combinar oraciones entre sí. Generalmente se realiza por medio de una variedad de partículas que la gramática llama popularmente “conjunciones”.

De dichas conjunciones únicamente un subconjunto de ellas posee interés para la lógica proposicional. Normalmente, se califican como conectivas principales las siguientes:

no, y, o, si… entones, si y sólo si (sii), siendo sus símbolos:

La peculiaridad común de todas ellas es que son Veritativo-funcionales. ¿Qué significa esto? Sencillamente,  que mediante ellas y una proposición simple (en el caso de ), o dos proposiciones simples (en el caso de las  conectivas restantes), se pueden establecer  proposiciones compuestas donde el  valor de verdad es excepcionalmente  una función del valor de verdad de los componentes. Siendo así, si tenemos las proposiciones:

(1.3) Mozart nació en Viena, y

(1.4) Mozart compuso las bodas de Fígaro

Podemos formar:

(1.5) Mozart nació en Viena y (Mozart) compuso las bodas de Fígaro.

(1.5) Estas proposiciones serán verdad únicamente, en el caso en que (1.3) y (1.4) de igual forma lo sean y falsa en el resto de los casos. Esto quiere decir: una vez que están establecidos los valores de verdad de (1.3) y (1.4), está automáticamente establecido el de (1.5) o cualquier otro compuesto creado a partir de cualquiera de las conectivas mencionadas anteriormente.  Por esta razón es que a la lógica proposicional se le llama también lógica de las funciones de verdad.

Se indica que dos proposiciones son lógicamente equivalentes cuando  las dos  poseen  los mismos valores de verdad en  todos los componentes  de valores de las proposiciones simples que las conforman. Esto quiere decir, que, en cada una de las demostraciones de ambas proposiciones, los valores de verdad de las dos proposiciones son iguales.

AB
VVV
VFF
FVF
FFF
AB­­
VVFVVV
VFVFF
FVVVVF
FFFVV

 

Como vemos en esta tabla, la fórmula (A  B) sólo es verdadera cuando A es verdadera y B es verdadera, siendo falsa en todos los otros casos.

 Se lee “no-A” y se considera la negación de A. En vista que, la conectiva  necesita únicamente una proposición, su valor de verdad será establecido directamente por su único componente proposicional A.

AB
VVV
VFF
FVF
FFF

 

Se utiliza el símbolo  para la disyunción exclusiva, para  ambos sentidos de “o” poseen  un uso común en los signos naturales, aunque se utilice  para los dos  la misma palabra “o”

Operadores lógicos

Los operadores lógicos, son aquellos que permiten conectar proposiciones simples para formar proposiciones compuestas.

Conjunción

El operador de conjunción se emplea para vincular dos proposiciones que se deben corresponder para que se pueda lograr un resultado verdadero. Esto quiere decir, la proposición compuesta que encierra una conjunción, está confirmando que las proposiciones más sencillas se están cumpliendo. Para  representarlo se  utiliza el símbolo ∧. De igual manera  se le  conoce como multiplicación lógica, operador “and”, operador “y”. Estos son otros de los símbolos con los que se pueden representar“.” y

“∩”.

Disyunción débil

Con este  operador de disyunción débil se consigue  un resultado verdadero cuando una  de las proposiciones es verdadera. Se representa frecuentemente  con el símbolo  ∨. Se le llama también suma lógica, operador “or”, operador “o”. Para representarlo se utilizan estos  símbolos “+∪” y “”. De igual forma se le conoce como: disyunción débil, disyunción no rigurosa, «disyunción copulativa» y » «disyunción inclusiva».

Disyunción fuerte

Por medio del operador disyunción fuerte se encuentra una salida puntualmente cierta si uno de los operandos es cierto y el otro es falso. Si ambos operandos cuentan con el mismo valor de verdad la salida es falsa. Además, recibe el nombre de disyunción divisoria, disyunción rigurosa y disyunción exclusiva. Para representarlo se usa el símbolo v con un punto en el ‘interior’, de igual manera se puede representar con la letra griega delta en mayúscula Δ.

Negación

La negación es una conectiva especial porque no relaciona proposiciones, sino que se aplica exclusivamente a una sola proposición.  Es muy fácil de comprender empleando ejemplos:

Tenemos estas proposiciones:

  • El libro es rojo.
  • El número ocho es par

Ciertamente, a partir de ella se pueden construir nuevas proposiciones que serán sus negaciones, utilizando la partícula “no”

Así conseguimos:

El libro no es rojo.

El número ocho no es par.

Notación

Las proposiciones se representan usando letras minúsculas del alfabeto comenzando generalmente por las letras p, q, r…z. En algunos casos es necesario representar muchas más proposiciones. En estos casos se podrán utilizar cualquiera de las otras letras del alfabeto, siempre y cuando sea en minúsculas.

Bicondicional

Se denota por la expresión “sí y sólo sí”, si usamos la frase “el animal maúlla sí y sólo sí es un gato” en esta ocasión, la proposición compuesta es verdadera si ambas simples lo son, ambas a la vez verdaderas o las dos falsas, si una es verdadera y la otra falsa la compuesta será falsa.

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