La Lógica proposicional (o de enunciados), también denominada como lógica de las funciones de verdad, es la más antigua rama de la lógica matemática que estudia proposiciones, argumentos, oraciones o afirmaciones, métodos de relaciones mediante conectores lógicos y los enlaces y propiedades que resultan de esos procedimientos.
La lógica proposicional admite el razonamiento, a través de un instrumento que primero evalúa problemas simples y luego problemas más complejos establecidos mediante el uso de conectivos proposicionales.
Valor de verdad
Dada la proposición es verdadera, V, o es falsa, F. Si una proposición p es verdadera, su negación, que se escribe p y se lee “no p”, es falsa. Los valores de verdad en una proposición p son V o F.
Dada una proposición p sucede que p es verdadera o que p es verdadera.
Las Conectivas Veritativo- Funcionales y sus Tablas
En los lenguajes naturales hay muchas maneras de combinar oraciones entre sí. Generalmente se realiza por medio de una variedad de partículas que la gramática llama popularmente “conjunciones”.
De dichas conjunciones únicamente un subconjunto de ellas posee interés para la lógica proposicional. Normalmente, se califican como conectivas principales las siguientes:
no, y, o, si… entones, si y sólo si (sii), siendo sus símbolos:
La peculiaridad común de todas ellas es que son Veritativo-funcionales. ¿Qué significa esto? Sencillamente, que mediante ellas y una proposición simple (en el caso de ), o dos proposiciones simples (en el caso de las conectivas restantes), se pueden establecer proposiciones compuestas donde el valor de verdad es excepcionalmente una función del valor de verdad de los componentes. Siendo así, si tenemos las proposiciones:
(1.3) Mozart nació en Viena, y
(1.4) Mozart compuso las bodas de Fígaro
Podemos formar:
(1.5) Mozart nació en Viena y (Mozart) compuso las bodas de Fígaro.
(1.5) Estas proposiciones serán verdad únicamente, en el caso en que (1.3) y (1.4) de igual forma lo sean y falsa en el resto de los casos. Esto quiere decir: una vez que están establecidos los valores de verdad de (1.3) y (1.4), está automáticamente establecido el de (1.5) o cualquier otro compuesto creado a partir de cualquiera de las conectivas mencionadas anteriormente. Por esta razón es que a la lógica proposicional se le llama también lógica de las funciones de verdad.
Se indica que dos proposiciones son lógicamente equivalentes cuando las dos poseen los mismos valores de verdad en todos los componentes de valores de las proposiciones simples que las conforman. Esto quiere decir, que, en cada una de las demostraciones de ambas proposiciones, los valores de verdad de las dos proposiciones son iguales.
A | B | |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |
A | B | | |||
V | V | F | V | V | V |
V | F | V | F | F | |
F | V | V | V | V | F |
F | F | F | V | V |
Como vemos en esta tabla, la fórmula (A B) sólo es verdadera cuando A es verdadera y B es verdadera, siendo falsa en todos los otros casos.
Se lee “no-A” y se considera la negación de A. En vista que, la conectiva necesita únicamente una proposición, su valor de verdad será establecido directamente por su único componente proposicional A.
A | B | |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |
Se utiliza el símbolo para la disyunción exclusiva, para ambos sentidos de “o” poseen un uso común en los signos naturales, aunque se utilice para los dos la misma palabra “o”
Operadores lógicos
Los operadores lógicos, son aquellos que permiten conectar proposiciones simples para formar proposiciones compuestas.
Conjunción
El operador de conjunción se emplea para vincular dos proposiciones que se deben corresponder para que se pueda lograr un resultado verdadero. Esto quiere decir, la proposición compuesta que encierra una conjunción, está confirmando que las proposiciones más sencillas se están cumpliendo. Para representarlo se utiliza el símbolo ∧. De igual manera se le conoce como multiplicación lógica, operador “and”, operador “y”. Estos son otros de los símbolos con los que se pueden representar“.” y
“∩”.
Disyunción débil
Con este operador de disyunción débil se consigue un resultado verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera. Se representa frecuentemente con el símbolo ∨. Se le llama también suma lógica, operador “or”, operador “o”. Para representarlo se utilizan estos símbolos “+∪” y “”. De igual forma se le conoce como: disyunción débil, disyunción no rigurosa, “disyunción copulativa” y ” “disyunción inclusiva”.
Disyunción fuerte
Por medio del operador disyunción fuerte se encuentra una salida puntualmente cierta si uno de los operandos es cierto y el otro es falso. Si ambos operandos cuentan con el mismo valor de verdad la salida es falsa. Además, recibe el nombre de disyunción divisoria, disyunción rigurosa y disyunción exclusiva. Para representarlo se usa el símbolo v con un punto en el ‘interior’, de igual manera se puede representar con la letra griega delta en mayúscula Δ.
Negación
La negación es una conectiva especial porque no relaciona proposiciones, sino que se aplica exclusivamente a una sola proposición. Es muy fácil de comprender empleando ejemplos:
Tenemos estas proposiciones:
- El libro es rojo.
- El número ocho es par
Ciertamente, a partir de ella se pueden construir nuevas proposiciones que serán sus negaciones, utilizando la partícula “no”
Así conseguimos:
El libro no es rojo.
El número ocho no es par.
Notación
Las proposiciones se representan usando letras minúsculas del alfabeto comenzando generalmente por las letras p, q, r…z. En algunos casos es necesario representar muchas más proposiciones. En estos casos se podrán utilizar cualquiera de las otras letras del alfabeto, siempre y cuando sea en minúsculas.
Bicondicional
Se denota por la expresión “sí y sólo sí”, si usamos la frase “el animal maúlla sí y sólo sí es un gato” en esta ocasión, la proposición compuesta es verdadera si ambas simples lo son, ambas a la vez verdaderas o las dos falsas, si una es verdadera y la otra falsa la compuesta será falsa.
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